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液晶乱流の界面成長に見るKPZ普遍法則

液晶乱流の界面成長とKPZ

平衡系における臨界現象の物理学は、様々な実験やIsingモデルの厳密解などが組み合わさって発展し、くりこみ群や共形場理論などの壮大な物理学体系が築かれるに至りました。では、同じような体系は非平衡に存在するのでしょうか? この答えはまだ誰も知りませんが、近年、Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)クラス[1]と呼ばれる、ランダム界面成長を記述する非平衡普遍クラスに関して厳密な結果が数多く導出され、注目を集めています[2]。我々は、液晶に電圧をかけて乱流状態を生成し、その成長過程を調べて、KPZクラスに関する厳密解と直接比較可能な実験結果をあげています[3-6]。

我々が観察する乱流状態はDSM2と呼ばれ、液晶の位相欠陥からなっていて、十分な電圧のもとで紫外レーザーを打ち込むことで生成します。この際、ビーム形状を変えることで、円形の界面も平面状の界面も作れます(ムービー1、2)。

ムービー1: 液晶乱流DSM2の円形界面成長(5倍速再生)。250 Hz、26 V の印加電圧の下で、紫外レーザーを1点に打ち込み、生成しています。[3-5]
ムービー2: 液晶乱流DSM2の平面界面成長(5倍速再生)。250 Hz、26 V の印加電圧の下で、紫外レーザーを線状に打ち込み、生成しています。[4,5]

界面ゆらぎの普遍法則が示すKPZ普遍サブクラス

図1: 円形界面および平面界面の高さゆらぎ分布。円形界面ゆらぎはGUE最大固有値分布(Tracy-Widom分布)、平面界面ゆらぎはGOE Tracy-Widom分布と一致します。横方向に僅かにずれているのは有限時間効果によるものです。[4,5]

円形界面・平面界面のそれぞれの場合について界面ゆらぎの統計的性質を測定した結果、どちらもスケーリング指数はKPZクラスのものでありながら、ゆらぎの分布や相関関数は互いに異なる関数形を示すことがわかりました。得られた関数形はKPZクラスに属する可解模型の厳密解の結果[2]と一致しており、特に分布関数は、GUEやGOEと呼ばれるランダム行列の最大固有値分布(Tracy-Widom分布)と同じものが現れます(図1)。このことから、分布や相関といった詳細な性質にも普遍性が成り立つことがわかり、さらに、KPZクラスは界面形状(あるいは初期条件)に応じていくつかの「普遍サブクラス」に分離するという不思議な結論が得られます[4,5]。

KPZクラスの数理的研究は大変進んでいますが、それでも時間相関をはじめとして、まだ解けていない統計的性質が数多く存在します。我々は液晶乱流実験によって、そうした未解決ながらも普遍的な諸性質を高精度で決定しています。特に、時間相関に関しては、円形界面と平面界面で、ゆらぎの正負の対称性や相関の持続性に質的な違いが現れることを発見しました[5]。

定常界面サブクラスの観測に向けて

図2: PNGモデルにおける平面-定常クロスオーバー。$\Delta t/t_0$の値を下げていくと、GOE Tracy-Widom分布(平面サブクラス)からBaik-Rains $F_0$分布(定常サブクラス)への遷移が見られます。[6]

また、理論的には、代表的なサブクラスとして、円形・平面のほか、定常状態サブクラスが知られています[2]。これは定常状態のKPZ界面を記述するものですが、通常、定常状態に到達するには無限の時間が必要なため、それを実験的に実現するのは困難です。そこで我々は、平面界面において、界面高さ $h(x,t)$ の代わりに、二時刻間の高さ変化

$\Delta h(x,\Delta t, t_0) = h(x, t_0+\Delta t) - h(x, t_0)$

に注目した結果、それが平面・定常サブクラス間のクロスオーバーを示すことを発見しました[6]。実験的には、測定時間が足りず、定常サブクラスの分布関数を直接捉えるのは困難ですが、数値的には平面-定常クロスオーバーを明確に見ることができ(図2)、実験でもこれと同じ兆候を定量的に確認しています[6]。このように、我々は実験と数値計算を組み合わせて、未知の普遍サブクラスを探求したり、理論では解かれていないサブクラス間の移り変わりなどを調べたりしています。

参考文献

[1] A.-L. Barabási and H. E. Stanley, Fractal Concepts in Surface Growth (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995).
[2] 最近の理論的進展に関するレビュー: T. Kriecherbauer and J. Krug, J. Phys. A 43, 403001 (2010) [web]; I. Corwin, Random Matrices Theory Appl. 1, 1130001 (2012) [web].
[3] K. A. Takeuchi and M. Sano, Phys. Rev. Lett. 104, 230601 (2010) [pdf, web].
[4] K. A. Takeuchi, M. Sano, T. Sasamoto, and H. Spohn, Sci. Rep. 1, 34 (2011) [pdf, web].
[5] K. A. Takeuchi and M. Sano, J. Stat. Phys. 147, 853 (2012) [web].
[6] K. A. Takeuchi, Phys. Rev. Lett. 110, 210604 (2013) [pdf, web].

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